Continuité, dérivabilité et calcul d'intégrales dépendant d'un paramètre : un grand classique d'oral en deuxième année.
Un exercice type
Oral CCINPMPClassiqueenviron 45 min
Pour x\in\mathbb{R}, on pose, lorsque cela a un sens,F(x)=\int_2^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{\sqrt{t^2-4}}\,dt . On admet que \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-v^2}\,dv=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.1.Déterminer l'ensemble D des réels x tels que t\mapsto \dfrac{e^{-xt}}{\sqrt{t^2-4}} soit intégrable sur ]2,+\infty[.2.a) À l'aide du changement de variable t=2\operatorname{ch}u, montrer que pour tout x\in D :F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-2x\operatorname{ch}u}\,du . b) Montrer que F est de classe C^2 sur D. Exprimer F' et F'' sous forme d'intégrales, puis établir que, pour tout x\in D :xF''(x)+F'(x)-4xF(x)=0 .3.a) Déterminer la limite de F en 0^+. b) Montrer que F(x)\underset{x\to+\infty}{\sim}\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\dfrac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}. On pourra poser u=v/\sqrt{x}.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury CCINP. 3 khôlles gratuites chaque mois.