Continuité, dérivabilité et calcul d'intégrales dépendant d'un paramètre : un grand classique d'oral en deuxième année.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechPCAbordableenviron 20 min
Pour x\ge0, on pose F(x)=\int_0^1\frac{t^x-1}{\ln t}\,dt. (1) Soient x\ge0 et t\in\,]0,1[. Montrer que \dfrac{t^x-1}{\ln t}=\displaystyle\int_0^xt^s\,ds. En déduire que 0\le\dfrac{t^x-1}{\ln t}\le x, puis que F(x) est bien définie pour tout x\ge0. (2) Montrer que F est de classe \mathcal{C}^1 sur [0,+\infty[ et calculer F'(x). (3) En déduire F(x) pour tout x\ge0, puis calculer \displaystyle\int_0^1\frac{t-1}{\ln t}\,dt et \displaystyle\int_0^1\frac{t^2-t}{\ln t}\,dt.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.