On considère A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), on note u l'endomorphisme de \mathbb{R}^3 canoniquement associé, (e_1,e_2,e_3) la base canonique, N=A-2I_3 et n=u-2\,\mathrm{id}. (1) Calculer N^2 et N^3. En déduire A^k pour tout k\in\mathbb{N}. (2) Déterminer le polynôme caractéristique \chi_A. À l'aide du théorème de Cayley-Hamilton, exprimer A^{-1} comme un polynôme en A, puis calculer A^{-1}. (3) Déterminer le polynôme minimal de A. La matrice A est-elle diagonalisable ? (4) Montrer qu'un sous-espace F de \mathbb{R}^3 est stable par u si et seulement s'il est stable par n. En déduire que les sous-espaces stables par u sont exactement \{0\}, \mathrm{Vect}(e_1), \mathrm{Vect}(e_1,e_2) et \mathbb{R}^3.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.