Convergences simple, uniforme et normale, interversion de limites et d'intégrales.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechPSIAbordableenviron 25 min
Pour n\ge1 et x\in\mathbb{R}, on pose u_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{n}. On admet que \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6. (1) Déterminer l'ensemble D des réels x pour lesquels la série \sum u_n(x) converge. Montrer que la série de fonctions \sum u_n converge normalement sur [a,+\infty[ pour tout a>0. On note S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x) pour x\in D. (2) Montrer que S est de classe \mathcal{C}^1 sur D et calculer S'(x) sous forme explicite. (3) Montrer que 0\le S(x)\le\dfrac{1}{e^x-1} pour x\in D, puis en déduire une expression explicite de S(x). Donner un équivalent de S(x) quand x\to0^+. (4) Montrer que S est intégrable sur D et que \displaystyle\int_D S(x)\,dx=\frac{\pi^2}6. En déduire la valeur de \displaystyle\int_0^{+\infty}\ln\big(1-e^{-x}\big)\,dx.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.