Oral E3A-Polytech : topologie et espaces vectoriels normés
Normes, ouverts et fermés, continuité, compacité et connexité par arcs.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechPCAbordableenviron 25 min
On note E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) et, pour f\in E, N_1(f)=\int_0^1|f(t)|\,dt et N_\infty(f)=\sup_{t\in[0,1]}|f(t)|. On admet que N_1 et N_\infty sont des normes sur E. (1) Montrer que N(f)=\int_0^1e^t|f(t)|\,dt définit une norme sur E, et que N_1\le N\le e\,N_1. (2) Pour n\in\mathbb{N}, on pose f_n(t)=t^n. Calculer N_1(f_n) et N_\infty(f_n). Les normes N_1 et N_\infty sont-elles équivalentes ? (3) On pose F=\{f\in E\mid f(0)=0\}. Montrer, à l'aide de la caractérisation séquentielle, que F est une partie fermée de (E,N_\infty). (4) Pour n\ge1, on pose g_n(t)=\min(nt,1) et on note \mathbf{1} la fonction constante égale à 1. Vérifier que g_n\in F et calculer N_1(g_n-\mathbf{1}). La partie F est-elle fermée dans (E,N_1) ? Dans (E,N) ?
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.