Nature d'une série, comparaison, équivalents, séries alternées et calcul de sommes.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechMPSIAbordableenviron 25 min
Soit x\in\,]-1,1[. Pour n\in\mathbb{N} et t\in\mathbb{R}, on pose G_n(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^nt^k. (1) Rappeler l'expression de G_n(t) pour t\neq1. En déduire que la série \sum_{k\ge0}x^k converge et donner sa somme. (2) En dérivant les deux expressions de G_n sur \mathbb{R}\setminus\{1\}, montrer que \sum_{k=1}^nkx^{k-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}, puis que la série \sum_{k\ge1}kx^{k-1} converge et a pour somme \dfrac1{(1-x)^2}. (3) En déduire la somme S_1=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{2^k}. Justifier la convergence de la série \sum_{k\ge1}\frac{k^2}{2^k}, puis calculer sa somme S_2 en comparant S_2 et \frac{S_2}2.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.