Oral Centrale-Supélec : séries numériques

Nature d'une série, comparaison, équivalents, séries alternées et calcul de sommes.

Un exercice type

Oral Centrale-SupélecPCSIClassiqueenviron 35 min

Soit a>0. Pour n\ge2, on pose u_n=\ln\left(1+\dfrac{(-1)^n}{n^a}\right).
(1) Justifier que u_n est bien défini. Montrer que si a>1, la série \sum u_n converge absolument.
(2) On pose v_n=u_n-\dfrac{(-1)^n}{n^a}. Montrer que v_n\le0 et donner un équivalent de v_n.
(3) En déduire, selon la valeur de a, la nature de \sum u_n. Pour quelles valeurs de a la série est-elle convergente sans être absolument convergente ?
(4) On prend a=1. Calculer \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right).

La correction se mérite à l'oral

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