Rayon de convergence, somme, développement en série entière et équations différentielles.
Un exercice type
Oral Centrale-SupélecPCClassiqueenviron 30 min
On pose S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2n+1}.1.Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.2.Tracer le graphe de S sur ]-1,1[ avec Python.3.Pour x\in\,]-1,1[, on pose T(x)=xS(x^2). Exprimer T'(x), puis T(x), à l'aide des fonctions usuelles.4.En déduire une expression de S(x) pour x\in\,]0,1[ et pour x\in\,]-1,0[.5.Soit y\in\left[\frac1{\sqrt2},\sqrt2\right] et u=\frac{y-1}{y+1}. Montrer que |u|\le3-2\sqrt2\le\frac15 et que 2T(u)=\ln(y).6.Écrire une fonction Python approx(y) qui renvoie 2\sum_{n=0}^{6}\frac{u^{2n+1}}{2n+1}.7.Montrer que approx(y) est une valeur approchée de \ln(y) à 10^{-10} près.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Centrale-Supélec. 3 khôlles gratuites chaque mois.