Produit scalaire, projections orthogonales, endomorphismes symétriques et théorème spectral.
Un exercice type
Oral Centrale-SupélecMPSIClassiqueenviron 45 min
Soit E un espace préhilbertien réel. Pour x_1,\dots,x_p\in E, on appelle déterminant de Gram le réel G(x_1,\dots,x_p)=\det\big(\langle x_i,x_j\rangle\big)_{1\le i,j\le p}. (1) Soit F un sous-espace de dimension finie contenant x_1,\dots,x_p et \mathcal{B} une base orthonormée de F. On note M la matrice de la famille (x_1,\dots,x_p) dans \mathcal{B}. Exprimer la matrice (\langle x_i,x_j\rangle) à l'aide de M. En déduire que si (x_1,\dots,x_p) est libre, alors G(x_1,\dots,x_p)>0, et que sinon G(x_1,\dots,x_p)=0. (2) On suppose (x_1,\dots,x_p) libre et on note F=\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p). Montrer que pour tout x\in E,d(x,F)^2=\frac{G(x_1,\dots,x_p,x)}{G(x_1,\dots,x_p)}. (3) Application : calculer \displaystyle\inf_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\int_0^1\left(t^2-at-b\right)^2\mathrm{d}t.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Centrale-Supélec. 3 khôlles gratuites chaque mois.