Produit scalaire, projections orthogonales, endomorphismes symétriques et théorème spectral.
Un exercice type
Oral Mines-PontsMPClassiqueenviron 25 min
On munit \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) du produit scalaire canonique \langle X,Y\rangle=X^{\top}Y et de la norme associée \|\cdot\|, et l'on note (E_1,\dots,E_n) sa base canonique. Pour S=(s_{ij})\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R}), on note \lambda_{\min} et \lambda_{\max} la plus petite et la plus grande valeur propre de S. (1) Montrer que \lambda_{\min}\|X\|^2\le\langle SX,X\rangle\le\lambda_{\max}\|X\|^2 pour tout X, et en déduire que s_{ii}\in[\lambda_{\min},\lambda_{\max}] pour tout i. (2) On suppose que s_{ii}=\lambda_{\max} pour un certain indice i. Montrer que SE_i=\lambda_{\max}E_i, et en déduire les coefficients de la i-ième colonne de S. (3) Soit A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) dont toutes les colonnes sont de norme 1 et telle que \|AX\|\le\|X\| pour tout X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}). Montrer que A\in O_n(\mathbb{R}).
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Mines-Ponts. 3 khôlles gratuites chaque mois.