Oral Mines-Ponts : réduction des endomorphismes

Valeurs propres, diagonalisation, trigonalisation, polynômes annulateurs.

Un exercice type

Oral Mines-Ponts 2024MPIClassiqueenviron 25 min

Soit n\geq1 et \mathbf{K}=\mathbf{R} ou \mathbf{C}. Pour M\in\mathcal{M}_n(\mathbf{K}), on note \chi_M son polynôme caractéristique.1.Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans \mathcal{M}_n(\mathbf{C}).2.Montrer que si M\in\mathcal{M}_n(\mathbf{C}) est diagonalisable, alors \chi_M(M)=0.3.En déduire le théorème de Cayley-Hamilton : pour toute M\in\mathcal{M}_n(\mathbf{K}), \chi_M(M)=0.

La correction se mérite à l'oral

Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Mines-Ponts. 3 khôlles gratuites chaque mois.

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