Intégrales sur un segment et sur un intervalle quelconque, intégrabilité, changement de variable.
Un exercice type
Oral Mines-PontsPCClassiqueenviron 30 min
Soient a<b et f\in\mathcal{C}^2([a,b],\mathbb{R}). On note I=\int_a^bf(t)\,dt et M_2=\max_{[a,b]}|f''|. (1) Montrer que I=\frac{b-a}{2}\big(f(a)+f(b)\big)-\frac12\int_a^b(t-a)(b-t)f''(t)\,dt. (2) Pour n\ge1, on pose h=\frac{b-a}{n}, x_k=a+kh et T_n=\dfrac h2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\big(f(x_k)+f(x_{k+1})\big). Montrer que |T_n-I|\le\dfrac{M_2(b-a)^3}{12n^2}. (3) On suppose de plus f de classe \mathcal{C}^3. Déterminer \displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2(T_n-I).
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Mines-Ponts. 3 khôlles gratuites chaque mois.