Intégrales sur un segment et sur un intervalle quelconque, intégrabilité, changement de variable.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechPCAbordableenviron 25 min
Soit n\in\mathbb{N}^*. On pose Q_n(x)=(x^2-1)^n et P_n=Q_n^{(n)} (dérivée n-ième de Q_n). (1) Montrer que P_n est un polynôme de degré n et déterminer son coefficient dominant. (2) En écrivant Q_n(x)=(x-1)^n(x+1)^n et en utilisant la formule de Leibniz, montrer que Q_n^{(k)}(1)=Q_n^{(k)}(-1)=0 pour tout k\in[\![0,n-1]\!], puis calculer P_n(1) et P_n(-1). (3) Montrer, par récurrence sur k\in[\![0,n]\!], que Q_n^{(k)} s'annule en au moins k points distincts de ]-1,1[. (4) En déduire que P_n admet n racines réelles distinctes, toutes simples et situées dans ]-1,1[.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.