Suites récurrentes, monotonie, limites, suites adjacentes et équivalents.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechPCAbordableenviron 25 min
Soit u_0>0 et (u_n) la suite définie par u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n^2}. (1) Montrer que (u_n) est à termes strictement positifs, décroissante, et qu'elle converge vers 0. (2) Calculer \frac1{u_{n+1}^2}-\frac1{u_n^2} en fonction de u_n. En déduire que \frac1{u_n^2}\ge2n+\frac1{u_0^2} pour tout n\in\mathbb{N}. (3) Montrer que, pour n\ge2, \sum_{k=0}^{n-1}u_k^2\le u_0^2+\frac{1+\ln n}{2}, puis que u_n\sim\frac1{\sqrt{2n}}. (4) Déterminer la nature des séries \sum u_n et \sum u_n^3.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.