Produit scalaire, projections orthogonales, endomorphismes symétriques et théorème spectral.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechMPAbordableenviron 25 min
On munit \mathbb{R}^3 de son produit scalaire canonique \langle\cdot,\cdot\rangle et de la norme associée. On considère A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix} et, pour x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 (identifié à une colonne), q(x)=\langle Ax,x\rangle. (1) Montrer que q(x)=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2. En déduire que les valeurs propres de A sont positives et déterminer \mathrm{Ker}\,A. (2) Justifier que A est diagonalisable dans une base orthonormée. Déterminer une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que A=PDP^{\top}. (3) On note \Sigma=\{x\in\mathbb{R}^3\mid\|x\|=1\}. Déterminer \max_{\Sigma}q et \min_{\Sigma}q, et les points de \Sigma où ils sont atteints. (4) Déterminer une matrice B symétrique à valeurs propres positives telle que B^2=A.
La correction se mérite à l'oral
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