Oral Mines-Ponts : topologie et espaces vectoriels normés
Normes, ouverts et fermés, continuité, compacité et connexité par arcs.
Un exercice type
Oral Mines-Ponts 2024MPClassiqueenviron 30 min
Soit A>0 et f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} continue, nulle en dehors de [-A,A]. On note \mathcal{B} l'espace des applications continues et bornées de \mathbb{R} dans \mathbb{R}, muni de \|\cdot\|_\infty. Pour g\in\mathcal{B} et x\in\mathbb{R}, on pose (g*f)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(y)f(x-y)\,dy.1.Justifier l'existence de (g*f)(x) et montrer que g*f\in\mathcal{B}.2.Montrer que L:g\mapsto g*f est un endomorphisme continu de \mathcal{B} et déterminer sa norme subordonnée.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Mines-Ponts. 3 khôlles gratuites chaque mois.