Oral CCINP : topologie et espaces vectoriels normés
Normes, ouverts et fermés, continuité, compacité et connexité par arcs.
Un exercice type
Oral CCINP 2016MPIAbordableenviron 15 min
Soient E et F deux espaces vectoriels normés réels.1.Soit f:E\to F une application linéaire. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) f est continue sur E ; (ii) f est continue en 0_E ; (iii) il existe k>0 tel que \|f(x)\|\le k\|x\| pour tout x\in E.2.Soit E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) muni de la norme \|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|, et \varphi:E\to\mathbb{R} définie par \varphi(f)=\int_0^1f(t)\,dt. Montrer que \varphi est linéaire et continue.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury CCINP. 3 khôlles gratuites chaque mois.