Oral Centrale-Supélec : topologie et espaces vectoriels normés
Normes, ouverts et fermés, continuité, compacité et connexité par arcs.
Un exercice type
Oral Centrale-SupélecMPAbordableenviron 35 min
Pour (x, y) \in \mathbb{R}^2, on poseN(x, y) = \sup_{t \in [0, 1]}|x + ty|. (1) Justifier que N est bien définie et montrer que N(x, y) = \max(|x|, |x + y|). (2) Montrer que N est une norme sur \mathbb{R}^2. (3) Déterminer les meilleures constantes \alpha, \beta > 0 telles que pour tout (x, y) \in \mathbb{R}^2,\alpha\|(x, y)\|_\infty \leq N(x, y) \leq \beta\|(x, y)\|_\infty. (4) Représenter la boule unité fermée de N. Soit (X_n) une suite de \mathbb{R}^2 ; montrer que X_n \to 0 pour \|\cdot\|_\infty si et seulement si N(X_n) \to 0.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Centrale-Supélec. 3 khôlles gratuites chaque mois.