Oral Centrale-Supélec : suites et séries de fonctions
Convergences simple, uniforme et normale, interversion de limites et d'intégrales.
Un exercice type
Oral Centrale-Supélec 2023MPClassiqueenviron 35 min
Pour x\in\,]-1,1[ et n\in\mathbb{N}^*, on pose u_n(x)=\dfrac{x^n}{1-x^n}, et on note d(n) le nombre de diviseurs positifs de n.1.Montrer que f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x) est bien définie sur ]-1,1[ et que f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}d(n)x^n.2.Pour x\in\,]0,1[ et n\in\mathbb{N}^*, justifier l'existence et calculer I_n(x)=\displaystyle\int_n^{+\infty}\frac{x^t}{1-x^t}\,dt.3.En comparant la série et une intégrale, en déduire un équivalent de f(x) quand x\to1^-.4.Python : écrire une fonction donnant une valeur approchée de f(x) et comparer numériquement f(x) à l'équivalent obtenu pour x\in\{0{,}9\,;\,0{,}99\,;\,0{,}999\}.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Centrale-Supélec. 3 khôlles gratuites chaque mois.