Oral X-ENS : structures algébriques et arithmétique
Groupes, anneaux, idéaux, arithmétique des entiers et des polynômes.
Un exercice type
Oral X-ENSMPSIExigeantenviron 35 min
Soit (G,\cdot) un groupe de neutre e. (1) On suppose que l'application x\mapsto x^2 est un morphisme de G dans G. Montrer que G est commutatif. (2) On suppose désormais que c:x\mapsto x^3 est un morphisme de G dans G. Montrer que pour tous x,y\in G, on a (yx)^2=x^2y^2. (3) Montrer que pour tous x,y\in G, les éléments x^2 et y^3 commutent. (4) On suppose de plus que c est bijectif. Montrer que G est commutatif. En déduire que si G est fini et si c est un morphisme injectif, alors G est commutatif.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury X-ENS. 3 khôlles gratuites chaque mois.