Oral E3A-Polytech : structures algébriques et arithmétique
Groupes, anneaux, idéaux, arithmétique des entiers et des polynômes.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechMPSIAbordableenviron 25 min
On pose G=\mathbb{R}\setminus\{1\} et, pour x,y\in G, x*y=x+y-xy. (1) Exprimer 1-x*y en fonction de 1-x et 1-y. En déduire que * est une loi de composition interne sur G. (2) Montrer que (G,*) est un groupe commutatif. On précisera son élément neutre et le symétrique de tout x\in G. (3) Montrer que l'application f:x\mapsto1-x est un isomorphisme du groupe (G,*) sur le groupe (\mathbb{R}^*,\times). (4) Pour x\in G et n\in\mathbb{N}^*, on note x^{*n}=x*x*\cdots*x (n termes). Calculer x^{*n}, puis résoudre dans G l'équation x^{*3}=9. Montrer enfin que H=\,]-\infty,1[ est un sous-groupe de (G,*).
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.