Oral Centrale-Supélec : structures algébriques et arithmétique
Groupes, anneaux, idéaux, arithmétique des entiers et des polynômes.
Un exercice type
Oral Centrale-SupélecMPSIClassiqueenviron 50 min
On définit la suite de polynômes (T_n)_{n \in \mathbb{N}} par T_0 = 1, T_1 = X et T_{n+2} = 2X\,T_{n+1} - T_n. (1) Montrer que pour tout n \in \mathbb{N} et tout \theta \in \mathbb{R}, T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta), et que T_n est l'unique polynôme vérifiant cette propriété. (2) Déterminer le degré et le coefficient dominant de T_n pour n \geq 1, ainsi que la parité de T_n. (3) Soit n \geq 1. Déterminer les racines de T_n et en déduire sa factorisation dans \mathbb{R}[X]. (4) En déduire la valeur de \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right). (5) Calculer T_n(1) et T_n'(1), puis \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1 - \cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)}.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Centrale-Supélec. 3 khôlles gratuites chaque mois.