Oral Centrale-Supélec : algèbre linéaire et matrices

Sous-espaces, applications linéaires, rang, matrices et déterminants.

Un exercice type

Oral Centrale-Supélec 2024PSIAbordableenviron 25 min

Soient h>0 et W_h=\Big\{f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})\ \Big|\ \forall x\in\mathbb{R},\ \int_{x+h}^{x+2h}f=2\int_x^{x+h}f\Big\}.
(1) Montrer que W_h est un sous-espace vectoriel de \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}).
(2) Pour n\ge1, on note f_n:x\mapsto\sin(2\pi nx/h). Montrer que (f_n)_{n\ge1} est une famille libre d'éléments de W_h. Qu'en déduit-on sur la dimension de W_h ?
(3) L'espace W_h contient-il une fonction non bornée ?

La correction se mérite à l'oral

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