Sous-espaces, applications linéaires, rang, matrices et déterminants.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechMPSIAbordableenviron 30 min
On note S l'ensemble des suites réelles (u_n)_{n\in\mathbb{N}} telles que \forall n\in\mathbb{N},\quad u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n. On note a la suite (2^n)_{n\in\mathbb{N}} et b la suite \big((-1)^n\big)_{n\in\mathbb{N}}. (1) Montrer que S est un sous-espace vectoriel de l'espace \mathbb{R}^{\mathbb{N}} des suites réelles. (2) Vérifier que a et b appartiennent à S et que la famille (a,b) est libre. (3) Soit u\in S. Déterminer des réels \lambda,\mu tels que la suite v=\lambda a+\mu b vérifie v_0=u_0 et v_1=u_1, puis montrer que u=v. En déduire que (a,b) est une base de S, et expliciter la suite u\in S telle que u_0=1 et u_1=5. (4) Montrer que l'ensemble B des suites bornées de S est un sous-espace vectoriel de S, et en donner une base. Déterminer de même l'ensemble des suites convergentes de S.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.