Différentielle, gradient, dérivées partielles, points critiques et extremums.
Un exercice type
Oral Centrale-Supélec 2024MPIClassiqueenviron 40 min
Pour t>0, on note f_t:x\mapsto e^{-tx} (définie sur \mathbb{R}), \Gamma_t=\{(x,f_t(x)),\ x\in\mathbb{R}\} son graphe et P=\big(\frac12,0\big).1.Montrer qu'il existe un unique réel u_t tel que le point (u_t,f_t(u_t)) de \Gamma_t réalise la distance euclidienne de P à \Gamma_t.2.À l'aide de Python, représenter \Gamma_k et le point d'abscisse u_k pour k\in[\![1,20]\!]. Que peut-on conjecturer sur la suite (u_k)_{k\ge1} ?3.Montrer que \frac12\le u_t\le1.4.Montrer que la suite (u_k)_{k\ge1} est monotone et converge vers un réel \ell, que l'on déterminera.5.Étudier numériquement, avec Python, la série \sum(u_n-\ell).6.Démontrer la conjecture faite en 5).
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Centrale-Supélec. 3 khôlles gratuites chaque mois.