Équations linéaires d'ordre 1 et 2, systèmes, problèmes de raccordement.
Un exercice type
Oral Centrale-SupélecMPIClassiqueenviron 35 min
Soit a>0. On considère sur \mathbb{R} l'équation (E_a)\colon\quad(1+t^2)\,y''+t\,y'-a^2y=0. (1) Soit y\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2 et z\colon u\mapsto y(\mathrm{sh}\,u). Montrer que y est solution de (E_a) si et seulement si z''=a^2z. (2) En déduire les solutions de (E_a), exprimées à l'aide de t\mapsto t+\sqrt{1+t^2}. (3) On suppose a=n\in\mathbb{N}^*. Montrer que P_n(t)=\frac12\Big[\big(t+\sqrt{1+t^2}\big)^n+\big(t-\sqrt{1+t^2}\big)^n\Big] définit un polynôme de degré n, solution de (E_n), et préciser son coefficient dominant. (4) Montrer que les solutions polynomiales de (E_n) sont exactement les multiples de P_n.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury Centrale-Supélec. 3 khôlles gratuites chaque mois.