Équations linéaires d'ordre 1 et 2, systèmes, problèmes de raccordement.
Un exercice type
Oral E3A-PolytechMPSIAbordableenviron 30 min
Soit \omega>0. On considère l'équation différentielle (E_\omega) : y''+y=\cos(\omega t), d'inconnue y:\mathbb{R}\to\mathbb{R} deux fois dérivable. (1) Résoudre l'équation homogène y''+y=0. (2) On suppose \omega\ne1. Déterminer une solution particulière de (E_\omega) de la forme t\mapsto A\cos(\omega t), puis la solution y_\omega de (E_\omega) vérifiant y_\omega(0)=0 et y_\omega'(0)=0. (3) On suppose \omega=1. Déterminer une solution particulière de (E_1) de la forme t\mapsto t\big(\alpha\cos t+\beta\sin t\big), puis la solution y_1 de (E_1) vérifiant y_1(0)=0 et y_1'(0)=0. (4) Montrer que y_\omega est bornée sur \mathbb{R} lorsque \omega\ne1, que y_1 ne l'est pas, et que, pour tout réel t fixé, y_\omega(t)\to y_1(t) lorsque \omega\to1.
La correction se mérite à l'oral
Passe cet exercice devant l'examinateur IA : il te relance, te donne des indices si tu bloques et te note sur 20 comme un jury E3A-Polytech. 3 khôlles gratuites chaque mois.